OBJETIVO

Introduzir de forma simples e objetiva as noções de função linear e seus casos particulares.

MOTIVAÇÃO

Consideremos o seguinte problema:
Um motorista de taxi cobra nas suas corridas R$ 7,00 pela bandeirada mais R$ 5,00 por quilômetro rodado. Com base nestas informações determine:
a) Uma expressão geral para calcular o preço de todas as corridas deste motorista
b) Qual é o preço de uma corrida de 4,5 km

Solução

a) Como a cada quilômetro ele adiciona R$ 5,00 então para uma quantia x de quilômetros o valor de cada quilômetro deverá ser multiplicado por x. Assim uma corrida de x km deverá custar 5x. Mas existe a taxa da bandeirada que também deve ser adicionada ao valor. Desse modo a expressão geral para calcular o preço de uma corrida é P(x) = 5x + 7.

b) O preço de uma corrida de 4,5 km será P(4,5) = 5 (4.5) + 7; ou seja, R$ 29,50.

Problemas deste tipo são próprios de aplicações das funções do primeiro grau, que definiremos a seguir.

DEFINIÇÃO

Chamamos função de primeiro grau ou função linear a toda função que obedeça a seguinte lei:
f(x) = ax + b , onde a e b são números reais.

Exemplo:

1) f(x) = 2x + 5
2) f(x) = 3x - 4

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

O gráfico de uma função de primeiro grau no plano cartesiano é sempre uma reta. As funções de primeiro grau podem receber denominações especiais. Como veremos a seguir tais denominações:

FUNÇÃO CONSTANTE

As funções de primeiro grau podem receber denominações especiais. Veja a seguir tais denominações:

Se em f(x) = ax + b fizermos a = 0, teremos f(x) = b. Neste caso a função recebe a denominação de função constante.

O gráfico de uma função constante no plano cartesiano é uma reta horizontal; ou seja, paralela ao eixo dos x.


FUNÇÃO IDENTIDADE

Se em f(x) = ax + b fizermos a = 1 e b = 0, teremos f(x) = x. Neste caso a função recebe a denominação de função identidade.

O gráfico da função identidade no plano cartesiano é uma reta oblíqua aos dois eixos e faz ângulo de 45 graus com ambos.

FUNÇÃO AFIM

Se em f(x) = ax + b fizermos b = 0, teremos f(x) = ax. Neste caso a função recebe a denominação de função afim.

O gráfico de uma função afim é uma reta passando pela origem do sistema cartesiano.


DECLIVIDADE

Chamamos declividade da reta à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo dos x. Na função de primeiro grau, esta tangente tem valor igual ao coeficiente a, que é denominado coeficiente angular da reta. O coeficiente b é chamado de coeficiente linear.
A partir do gráfico podemos determinar o valor do coeficiente angular. Basta tomar dois pontos A e B da função; ou da reta.
Para o cálculo da declividade ou coeficiente angular podemos usar a expressão abaixo:


Note que o triângulo ABC destacado da figura é um triângulo retângulo.

SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

O sinal da função linear ou de primeiro grau, exceto a função constante fica determinado pelo gráfico da função a partir da intersecção com o eixo dos x, conforme as figuras abaixo:

Primeiro caso:

O coeficiente angular ou declividade a é positivo; isto é, a > 0.
Neste caso, o sinal da função é positivo à direita da raiz e negativo à esquerda.


Segundo caso:

O coeficiente angular a ou declividade é negativo; isto é, a < 0.
Neste caso, o sinal da função é negativo à direita da raiz e positivo à esquerda.

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